同济高数第八版上册到模型学习：25道核心题

这不是同济《高等数学》教材习题的搬运，也不是习题全解。它是一份面向模型学习的原创高数题单：用同济高数第八版上册的知识范围，筛出对理解深度学习、优化、损失函数、训练动力学最有帮助的 25 道题。

我按官方高教社产品页确认的第八版范围来组织：同济大学数学科学学院编《高等数学》第八版上册，2023 年 6 月出版，上册包括函数与极限、导数与微分、微分中值定理与导数应用、不定积分、定积分及应用、微分方程等内容。本文只借用知识范围，不复刻教材原题。

读这篇时，重点不是“刷完 25 题”，而是建立一条模型学习的数学骨架：

flowchart LR
  A["极限"] --> B["局部近似"]
  B --> C["导数/梯度"]
  C --> D["优化与损失"]
  D --> E["积分：累计量/平均量"]
  E --> F["微分方程：训练动力学"]

每题都有三块：

• 题目：尽量小，但抓住一个核心技能。
• 解答：写出关键步骤，不跳到结论。
• 模型连接：说明这题为什么对理解模型有用。

排版上，正文公式统一用 KaTeX 渲染；推导尽量拆成短公式，答案单独放在 答案 小节下，方便以后按题复习。

一、函数、极限与连续：看懂“局部”和“稳定”

1. 用极限看平方根的局部变化

题目：求

$$\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+x}-1}{x}$$

解答：

直接代入会得到 $0/0$，需要变形。分子有根号，常用有理化：

$$\frac{\sqrt{1+x}-1}{x} \cdot \frac{\sqrt{1+x}+1}{\sqrt{1+x}+1} = \frac{1+x-1}{x(\sqrt{1+x}+1)}$$

化简得：

$$\frac{1}{\sqrt{1+x}+1}$$

令 $x\to 0$：

$$\lim_{x\to 0}\frac{1}{\sqrt{1+x}+1} = \frac{1}{2}$$

答案：

$$\frac{1}{2}$$

模型连接：这题是“局部线性化”的入口。它说明 $\sqrt{1+x}$ 在 $x=0$ 附近大约像 $1+\frac{x}{2}$。训练模型时，我们也经常只看当前位置附近的变化，而不是一次看完整函数。

2. 对数函数的小量近似

题目：求

$$\lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+3x)}{x}$$

解答：

令 $u=3x$，当 $x\to 0$ 时，$u\to 0$。原式变为：

$$\frac{\ln(1+3x)}{x} = 3\cdot \frac{\ln(1+3x)}{3x} = 3\cdot \frac{\ln(1+u)}{u}$$

基本极限：

$$\lim_{u\to 0}\frac{\ln(1+u)}{u}=1$$

所以：

$$\lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+3x)}{x}=3$$

答案：

$$3$$

模型连接：交叉熵、似然、softmax 都离不开 $\ln$。这题告诉你：当变化很小时，$\ln(1+u)$ 近似等于 $u$。很多损失函数的局部分析都靠这种近似。

3. 指数函数从离散增长到连续增长

题目：求

$$\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{2}{n}\right)^n$$

解答：

基本极限：

$$\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=e$$

更一般地：

$$\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{a}{n}\right)^n=e^a$$

这里 $a=2$，所以：

$$\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{2}{n}\right)^n=e^2$$

答案：

$$e^2$$

模型连接：指数函数是 softmax 的核心。离散步数越来越细时，会自然出现 $e^x$，这也是为什么连续增长、概率归一化、梯度流里经常见到指数函数。

4. 判断分段函数能否平滑衔接

题目：设

$$f(x)= \begin{cases} ax+b, & x<1,\\ x^2, & x\ge 1. \end{cases}$$

求 $a,b$，使 $f(x)$ 在 $x=1$ 处连续且可导。

解答：

连续要求左极限等于函数值：

$$\lim_{x\to 1^-}f(x)=f(1)$$

左侧为 $a+b$，右侧函数值为 $1^2=1$，所以：

$$a+b=1$$

可导要求左右导数相等。左侧 $ax+b$ 的导数是 $a$；右侧 $x^2$ 的导数是 $2x$，在 $x=1$ 处为 2。所以：

$$a=2$$

代入 $a+b=1$：

$$2+b=1$$

所以：

$$b=-1$$

答案：

$$a=2,\quad b=-1$$

模型连接：激活函数、损失函数最好不要有太奇怪的断点。连续性保证输出不突然跳，可导性保证梯度能传。ReLU 虽然在 0 点不可导，但工程上会用次梯度处理；这题帮你理解“平滑”为什么重要。

5. 比较两个函数的增长速度

题目：求

$$\lim_{x\to\infty}\frac{\ln x}{x^{0.1}}$$

解答：

当 $x\to\infty$ 时，分子分母都趋于无穷，可以用洛必达法则。

分子导数：

$$(\ln x)'=\frac{1}{x}$$

分母导数：

$$(x^{0.1})'=0.1x^{-0.9}$$

所以原极限等于：

$$\lim_{x\to\infty}\frac{1/x}{0.1x^{-0.9}} = \lim_{x\to\infty}10x^{-0.1} =0$$

答案：

$$0$$

模型连接：学习 scaling law 时会频繁比较 $\log x$、$x^a$、$e^x$ 的增长速度。这题告诉你：任何正幂函数最终都比对数函数增长快。

二、导数与微分：梯度的前身

6. sigmoid 的导数

题目：设

$$\sigma(x)=\frac{1}{1+e^{-x}}$$

求 $\sigma'(x)$，并把结果写成只含 $\sigma(x)$ 的形式。

解答：

先写成幂形式：

$$\sigma(x)=(1+e^{-x})^{-1}$$

求导：

$$\sigma'(x)=-(1+e^{-x})^{-2}\cdot (-e^{-x}) = \frac{e^{-x}}{(1+e^{-x})^2}$$

现在把它写成 $\sigma(x)$ 的形式。因为：

$$\sigma(x)=\frac{1}{1+e^{-x}}$$

并且：

$$1-\sigma(x) = 1-\frac{1}{1+e^{-x}} = \frac{e^{-x}}{1+e^{-x}}$$

所以：

$$\sigma(x)(1-\sigma(x)) = \frac{1}{1+e^{-x}}\cdot \frac{e^{-x}}{1+e^{-x}} = \frac{e^{-x}}{(1+e^{-x})^2}$$

答案：

$$\sigma'(x)=\sigma(x)(1-\sigma(x))$$

模型连接：sigmoid 是经典激活函数和二分类概率函数。这个导数形式很重要：当 $\sigma(x)$ 接近 0 或 1 时，导数接近 0，这就是梯度变小的一个直观来源。

7. logistic 损失的一维梯度

题目：设二分类标签 $y\in\{-1,1\}$，模型分数为 $wx$，损失函数为

$$L(w)=\ln(1+e^{-ywx})$$

求 $L'(w)$。

解答：

令：

$$u=-ywx$$

则：

$$L(w)=\ln(1+e^u)$$

先对 $u$ 求导：

$$\frac{d}{du}\ln(1+e^u)=\frac{e^u}{1+e^u}$$

再乘上：

$$\frac{du}{dw}=-yx$$

所以：

$$L'(w)=\frac{e^{-ywx}}{1+e^{-ywx}}\cdot (-yx)$$

也可写为：

$$L'(w)=\frac{-yx}{1+e^{ywx}}$$

答案：

$$L'(w)=\frac{-yx}{1+e^{ywx}}$$

模型连接：这就是最小版的“反向传播”：损失对参数求导。理解这题，就能理解模型为什么会按梯度方向更新参数。

8. 用微分估算平方根

题目：不用计算器，估算 $\sqrt{4.04}$。

解答：

令：

$$f(x)=\sqrt{x}$$

在 $x=4$ 附近做线性近似。先算：

$$f(4)=2$$

导数为：

$$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$$

所以：

$$f'(4)=\frac{1}{4}$$

从 $4$ 到 $4.04$，变化量为：

$$\Delta x=0.04$$

微分近似：

$$f(4.04)\approx f(4)+f'(4)\Delta x = 2+\frac{1}{4}\cdot 0.04 = 2.01$$

答案：

$$\sqrt{4.04}\approx 2.01$$

模型连接：微分就是一阶 Taylor 近似。训练时每次小步更新参数，本质上也是用局部线性近似判断损失会怎么变。

9. 用洛必达法则读出二阶小量

题目：求

$$\lim_{x\to 0}\frac{e^x-1-x}{x^2}$$

解答：

直接代入为 $0/0$。用洛必达法则一次：

$$\lim_{x\to 0}\frac{e^x-1}{2x}$$

仍是 $0/0$，再用一次：

$$\lim_{x\to 0}\frac{e^x}{2}=\frac{1}{2}$$

答案：

$$\frac{1}{2}$$

模型连接：这题说明 $e^x$ 在 0 附近除了 $1+x$，还多出一个约 $\frac{x^2}{2}$ 的二阶修正。二阶项对应曲率，是理解 Newton 法、Hessian、损失曲面弯曲的入口。

10. 判断 softplus 的单调性与凸性

题目：设

$$f(x)=\ln(1+e^x)$$

证明 $f(x)$ 单调递增且为凸函数。

解答：

先求一阶导数：

$$f'(x)=\frac{e^x}{1+e^x}$$

因为 $e^x>0$，且 $1+e^x>0$，所以：

$$f'(x)>0$$

因此 $f(x)$ 单调递增。

再求二阶导数：

$$f''(x)=\left(\frac{e^x}{1+e^x}\right)' = \frac{e^x(1+e^x)-e^x e^x}{(1+e^x)^2} = \frac{e^x}{(1+e^x)^2}$$

因为：

$$f''(x)>0$$

所以 $f(x)$ 为凸函数。

答案：$f(x)$ 单调递增，且为凸函数。

模型连接：softplus 是 ReLU 的平滑版本。凸性说明局部斜率越来越大，也让你初步理解为什么凸损失比非凸损失更好分析。

三、中值定理、Taylor 与优化

11. Taylor 展开 $\ln(1+x)$

题目：写出 $\ln(1+x)$ 在 $x=0$ 处到三阶的 Taylor 展开。

解答：

令：

$$f(x)=\ln(1+x)$$

逐阶求导：

$$f(0)=0$$ $$f'(x)=\frac{1}{1+x},\quad f'(0)=1$$ $$f''(x)=-\frac{1}{(1+x)^2},\quad f''(0)=-1$$ $$f'''(x)=\frac{2}{(1+x)^3},\quad f'''(0)=2$$

Taylor 公式：

$$f(x)\approx f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\frac{f'''(0)}{3!}x^3$$

代入：

$$\ln(1+x)\approx x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}$$

答案：

$$\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+o(x^3)$$

模型连接：很多损失函数的近似分析都靠 Taylor 展开。比如参数扰动很小时，损失变化可以拆成一阶梯度项和二阶曲率项。

12. 一个带正则项的最小化问题

题目：求函数

$$f(x)=x^2+\lambda(x-1)^2,\quad \lambda>0$$

的最小值点。

解答：

先求导：

$$f'(x)=2x+2\lambda(x-1)$$

令导数为 0：

$$2x+2\lambda(x-1)=0$$

两边除以 2：

$$x+\lambda x-\lambda=0$$

合并：

$$(1+\lambda)x=\lambda$$

所以：

$$x=\frac{\lambda}{1+\lambda}$$

再看二阶导数：

$$f''(x)=2+2\lambda>0$$

所以这是最小值点。

答案：

$$x^*=\frac{\lambda}{1+\lambda}$$

模型连接：这是正则化的最小模型。第一项想让 $x$ 靠近 0，第二项想让 $x$ 靠近 1，$\lambda$ 控制两种目标的权重。模型训练里经常是“拟合数据”和“控制复杂度”之间的拉扯。

13. Newton 法求 $\sqrt{2}$ 的一次迭代

题目：用 Newton 法求方程 $x^2-2=0$ 的近似根。取初值 $x_0=1$，求 $x_1$。

解答：

设：

$$f(x)=x^2-2$$

Newton 法公式：

$$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$$

求导：

$$f'(x)=2x$$

代入 $x_0=1$：

$$f(1)=1^2-2=-1$$ $$f'(1)=2$$

所以：

$$x_1=1-\frac{-1}{2}=1.5$$

答案：

$$x_1=1.5$$

模型连接：Newton 法用到二阶思想，比普通梯度下降更懂曲率。大模型里完整 Newton 法太贵，但二阶优化、自然梯度、K-FAC 等方法都和这个思想有关。

14. 用中值定理证明指数函数的下界

题目：证明当 $x>0$ 时，

$$e^x>1+x$$

解答：

设：

$$f(t)=e^t$$

在区间 $[0,x]$ 上使用拉格朗日中值定理，存在 $\xi\in(0,x)$，使得：

$$\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=f'(\xi)$$

即：

$$\frac{e^x-1}{x}=e^\xi$$

因为 $x>0$ 且 $\xi>0$，所以：

$$e^\xi>1$$

于是：

$$\frac{e^x-1}{x}>1$$

两边乘以 $x>0$：

$$e^x-1>x$$

所以：

$$e^x>1+x$$

模型连接：很多概率不等式、凸函数不等式都来自中值定理或凸性。这些不等式是理解优化收敛和泛化界的基础语言。

15. 找出一个一维损失的所有驻点

题目：设

$$f(x)=x^4-2x^2$$

求驻点，并判断它们是极大值点、极小值点还是其他。

解答：

先求导：

$$f'(x)=4x^3-4x=4x(x^2-1)$$

令 $f'(x)=0$：

$$4x(x-1)(x+1)=0$$

所以驻点为：

$$x=-1,\quad x=0,\quad x=1$$

再求二阶导数：

$$f''(x)=12x^2-4$$

在 $x=-1$：

$$f''(-1)=8>0$$

所以 $x=-1$ 是极小值点。

在 $x=1$：

$$f''(1)=8>0$$

所以 $x=1$ 是极小值点。

在 $x=0$：

$$f''(0)=-4<0$$

所以 $x=0$ 是极大值点。

答案：$x=\pm 1$ 是极小值点，$x=0$ 是极大值点。

模型连接：非凸损失可能有多个谷和山。深度学习优化不是只面对一个碗形函数，而是在复杂地形上找低损失区域。

四、不定积分与定积分：从局部变化到累计量

16. 一个常见换元积分

题目：求不定积分

$$\int \frac{x}{1+x^2}\,dx$$

解答：

令：

$$u=1+x^2$$

则：

$$du=2x\,dx$$

所以：

$$x\,dx=\frac{1}{2}du$$

原积分变为：

$$\int \frac{x}{1+x^2}\,dx = \frac{1}{2}\int \frac{1}{u}\,du = \frac{1}{2}\ln|u|+C$$

代回：

$$\frac{1}{2}\ln(1+x^2)+C$$

答案：

$$\frac{1}{2}\ln(1+x^2)+C$$

模型连接：换元积分对应“换坐标看问题”。概率分布变换、归一化常数、连续变量建模都需要这种能力。

17. 分部积分入门

题目：求

$$\int x e^x\,dx$$

解答：

用分部积分公式：

$$\int u\,dv=uv-\int v\,du$$

取：

$$u=x,\quad dv=e^x dx$$

则：

$$du=dx,\quad v=e^x$$

所以：

$$\int x e^x\,dx = xe^x-\int e^x\,dx = xe^x-e^x+C$$

答案：

$$e^x(x-1)+C$$

模型连接：分部积分背后是“乘积求导的反向使用”。连续概率、变分推导、物理启发的机器学习里经常会出现这种技巧。

18. 计算一个简单平均值

题目：求函数 $f(x)=x^2$ 在区间 $[0,1]$ 上的平均值。

解答：

函数在 $[a,b]$ 上的平均值为：

$$\bar f=\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx$$

这里：

$$\bar f=\frac{1}{1-0}\int_0^1 x^2\,dx$$

计算：

$$\int_0^1 x^2\,dx=\left.\frac{x^3}{3}\right|_0^1=\frac{1}{3}$$

所以平均值为：

$$\frac{1}{3}$$

答案：

$$\frac{1}{3}$$

模型连接：训练损失就是样本损失的平均。连续情形下，“平均损失”会变成积分，这题是期望和风险函数的前置概念。

19. 用定积分看归一化常数

题目：设

$$p(x)=cx,\quad 0\le x\le 1$$

若 $p(x)$ 是区间 $[0,1]$ 上的概率密度，求 $c$。

解答：

概率密度的总面积必须等于 1：

$$\int_0^1 p(x)\,dx=1$$

代入：

$$\int_0^1 cx\,dx=1$$

计算：

$$c\left.\frac{x^2}{2}\right|_0^1=1$$

所以：

$$\frac{c}{2}=1$$

得到：

$$c=2$$

答案：

$$c=2$$

模型连接：概率密度必须归一化，softmax 也必须归一化。一个是连续积分等于 1，一个是离散求和等于 1。

20. 计算连续随机变量的期望

题目：接上一题，若 $p(x)=2x$，$0\le x\le 1$，求 $X$ 的期望。

解答：

连续随机变量的期望为：

$$E[X]=\int_0^1 x p(x)\,dx$$

代入 $p(x)=2x$：

$$E[X]=\int_0^1 x\cdot 2x\,dx = \int_0^1 2x^2\,dx$$

计算：

$$\int_0^1 2x^2\,dx = 2\left.\frac{x^3}{3}\right|_0^1 = \frac{2}{3}$$

答案：

$$E[X]=\frac{2}{3}$$

模型连接：机器学习里的期望风险、平均预测、连续分布采样都要用期望。积分就是连续版“加权平均”。

21. 由速度求位移

题目：某训练指标的变化率可近似为

$$v(t)=3e^{-t},\quad t\ge 0$$

求从 $t=0$ 到 $t=T$ 的累计变化量。

解答：

累计变化量就是速度积分：

$$\Delta=\int_0^T 3e^{-t}\,dt$$

计算：

$$\int 3e^{-t}\,dt=-3e^{-t}+C$$

所以：

$$\Delta=\left.-3e^{-t}\right|_0^T = -3e^{-T}+3 = 3(1-e^{-T})$$

答案：

$$3(1-e^{-T})$$

模型连接：很多训练收益是前期快、后期慢。指数衰减积分告诉你：继续训练会有收益，但边际收益越来越小。

22. 用积分估计面积和累计损失

题目：计算

$$\int_0^2 |x-1|\,dx$$

解答：

绝对值函数在 $x=1$ 处分段：

当 $0\le x<1$ 时：

$$|x-1|=1-x$$

当 $1\le x\le 2$ 时：

$$|x-1|=x-1$$

所以：

$$\int_0^2 |x-1|\,dx = \int_0^1(1-x)\,dx+\int_1^2(x-1)\,dx$$

第一项：

$$\int_0^1(1-x)\,dx = \left.x-\frac{x^2}{2}\right|_0^1 = \frac{1}{2}$$

第二项：

$$\int_1^2(x-1)\,dx = \left.\frac{(x-1)^2}{2}\right|_1^2 = \frac{1}{2}$$

总和：

$$1$$

答案：

$$1$$

模型连接：绝对值对应 $L_1$ 损失。它不像平方损失那样对大误差特别敏感，因此在鲁棒回归里常见。

五、微分方程：训练过程的连续化视角

23. 指数衰减方程

题目：解微分方程

$$\frac{dy}{dt}=-ky,\quad k>0,\quad y(0)=y_0$$

解答：

分离变量：

$$\frac{1}{y}dy=-k\,dt$$

两边积分：

$$\int \frac{1}{y}dy=\int -k\,dt$$

得到：

$$\ln|y|=-kt+C$$

两边取指数：

$$y=Ce^{-kt}$$

由初值 $y(0)=y_0$：

$$y_0=C$$

所以：

$$y(t)=y_0e^{-kt}$$

答案：

$$y(t)=y_0e^{-kt}$$

模型连接：这是衰减过程的基本模型。学习率衰减、权重衰减、误差指数下降都可以从这个方程获得直觉。

24. 连续梯度下降的最小模型

题目：设损失函数

$$L(w)=\frac{1}{2}w^2$$

连续梯度下降满足：

$$\frac{dw}{dt}=-L'(w)$$

求 $w(t)$，已知 $w(0)=w_0$。

解答：

先求导：

$$L'(w)=w$$

所以微分方程为：

$$\frac{dw}{dt}=-w$$

这就是上一题 $k=1$ 的指数衰减方程，因此：

$$w(t)=w_0e^{-t}$$

答案：

$$w(t)=w_0e^{-t}$$

模型连接：梯度下降可以看成沿损失下降的动力系统。这个最简单例子说明：在碗形损失里，参数会指数式靠近最优点。

25. 带外力项的训练动态

题目：解

$$\frac{dy}{dt}+y=e^{-t},\quad y(0)=0$$

解答：

这是线性一阶微分方程。注意左侧若乘以 $e^t$：

$$e^t\frac{dy}{dt}+e^t y$$

而：

$$\frac{d}{dt}(e^t y)=e^t\frac{dy}{dt}+e^t y$$

所以方程两边乘以 $e^t$：

$$\frac{d}{dt}(e^t y)=e^t e^{-t}=1$$

两边积分：

$$e^t y=t+C$$

所以：

$$y=(t+C)e^{-t}$$

代入初值 $y(0)=0$：

$$0=(0+C)e^0$$

所以 $C=0$。

答案：

$$y=te^{-t}$$

模型连接：训练不是只有单纯衰减，也可能有“驱动力”和“阻尼”同时存在。这个方程的解先上升后下降，很像很多指标先积累、再被衰减机制压下去。

上册 25 题的主线

如果只记一条线：

极限让你看局部，导数让你知道往哪变，Taylor 让你近似损失，积分让你从局部累计到整体，微分方程让你把训练过程看成随时间变化的系统。

这就是同济高数上册对模型学习最值得保留的骨架。

参考

• 高等教育出版社产品页：《高等数学 第八版 上册》
• 高等教育出版社产品页：《高等数学 第八版 下册》