同济高数第八版下册到模型学习：第26到50题

这是“同济高数第八版到模型学习 50 题”的下篇。上篇覆盖第 1 到 25 题，主线是一元微积分：极限、导数、Taylor、积分、微分方程。本文继续第 26 到 50 题，覆盖同济《高等数学》第八版下册的主干：向量代数与空间解析几何、多元函数微分法及其应用、重积分、曲线积分与曲面积分、无穷级数。

这组题仍然坚持一个原则：

不复刻教材原题，而是按同济高数知识范围，重写一套对模型学习有用的原创训练题。

下册对模型学习尤其重要，因为大模型里的“参数”不是一个数，而是一大串数。于是数学也从一维曲线进入高维空间：

flowchart LR
  A["向量"] --> B["相似度/投影"]
  B --> C["多元函数"]
  C --> D["梯度与 Hessian"]
  D --> E["重积分与期望"]
  E --> F["曲线曲面积分"]
  F --> G["级数近似"]

排版约定和上篇一致：公式用 KaTeX 渲染，推导拆成短步骤，答案单独成块，每题最后给出“模型连接”。

一、向量代数与空间解析几何：高维表示的语言

26. 用点积计算向量相似度

题目：设

$$\mathbf a=(1,2,2),\quad \mathbf b=(2,1,2)$$

求 $\mathbf a\cdot \mathbf b$，并求两向量夹角的余弦值。

解答：

点积按对应分量相乘再相加：

$$\mathbf a\cdot \mathbf b = 1\cdot 2+2\cdot 1+2\cdot 2 = 8$$

再求长度：

$$\|\mathbf a\| = \sqrt{1^2+2^2+2^2} = 3$$ $$\|\mathbf b\| = \sqrt{2^2+1^2+2^2} = 3$$

夹角余弦：

$$\cos\theta = \frac{\mathbf a\cdot \mathbf b}{\|\mathbf a\|\|\mathbf b\|} = \frac{8}{9}$$

答案：

$$\mathbf a\cdot \mathbf b=8,\quad \cos\theta=\frac{8}{9}$$

模型连接：embedding 相似度常用点积或 cosine similarity。向量越同向，点积和余弦相似度越大，检索、推荐、注意力机制都离不开这个直觉。

27. 把一个向量投影到另一个方向

题目：求向量

$$\mathbf u=(3,4)$$

在方向

$$\mathbf v=(1,0)$$

上的投影向量。

解答：

投影公式为：

$$\operatorname{proj}_{\mathbf v}\mathbf u = \frac{\mathbf u\cdot \mathbf v}{\mathbf v\cdot \mathbf v}\mathbf v$$

先算点积：

$$\mathbf u\cdot \mathbf v=3\cdot 1+4\cdot 0=3$$

再算：

$$\mathbf v\cdot \mathbf v=1$$

所以：

$$\operatorname{proj}_{\mathbf v}\mathbf u = 3(1,0) = (3,0)$$

答案：

$$(3,0)$$

模型连接：投影就是“某个方向上有多少成分”。PCA、低秩近似、LoRA、特征压缩都可以先用投影来理解。

28. 求平面方程

题目：求过点 $P(1,2,3)$，且法向量为 $\mathbf n=(2,-1,1)$ 的平面方程。

解答：

平面上一点 $(x,y,z)$ 与已知点 $P(1,2,3)$ 的连线向量为：

$$(x-1,\ y-2,\ z-3)$$

这个向量在平面内，因此与法向量垂直：

$$(2,-1,1)\cdot(x-1,\ y-2,\ z-3)=0$$

展开：

$$2(x-1)-(y-2)+(z-3)=0$$

化简：

$$2x-y+z-3=0$$

答案：

$$2x-y+z-3=0$$

模型连接：线性分类器的决策边界就是高维空间里的超平面。法向量决定“往哪边分”，偏置决定平面位置。

29. 点到平面的距离

题目：求点 $Q(1,1,1)$ 到平面

$$2x-y+z-3=0$$

的距离。

解答：

点 $(x_0,y_0,z_0)$ 到平面 $Ax+By+Cz+D=0$ 的距离为：

$$d=\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$$

这里：

$$A=2,\quad B=-1,\quad C=1,\quad D=-3$$

代入点 $Q(1,1,1)$：

$$|2\cdot 1-1\cdot 1+1\cdot 1-3| = | -1 | = 1$$

分母：

$$\sqrt{2^2+(-1)^2+1^2} = \sqrt{6}$$

所以：

$$d=\frac{1}{\sqrt{6}}$$

答案：

$$\frac{1}{\sqrt{6}}$$

模型连接：分类间隔可以理解成样本点到决策平面的距离。支持向量机的核心直觉就是让这个间隔尽量大。

30. 判断两向量是否线性相关

题目：判断

$$\mathbf a=(1,2,3),\quad \mathbf b=(2,4,6)$$

是否线性相关。

解答：

如果存在常数 $k$，使得：

$$\mathbf b=k\mathbf a$$

则两向量线性相关。

观察：

$$(2,4,6)=2(1,2,3)$$

所以：

$$\mathbf b=2\mathbf a$$

两向量方向完全相同，只是长度不同，因此线性相关。

答案：线性相关。

模型连接：线性相关意味着信息重复。特征工程、表示学习、低秩分解都关心“哪些方向是真正独立的信息”。

二、多元函数微分法：梯度、链式法则与曲率

31. 计算偏导数

题目：设

$$f(x,y)=x^2y+\sin(xy)$$

求 $f_x$ 与 $f_y$。

解答：

求 $f_x$ 时，把 $y$ 当常数：

$$\frac{\partial}{\partial x}(x^2y)=2xy$$ $$\frac{\partial}{\partial x}\sin(xy)=\cos(xy)\cdot y$$

所以：

$$f_x=2xy+y\cos(xy)$$

求 $f_y$ 时，把 $x$ 当常数：

$$\frac{\partial}{\partial y}(x^2y)=x^2$$ $$\frac{\partial}{\partial y}\sin(xy)=\cos(xy)\cdot x$$

所以：

$$f_y=x^2+x\cos(xy)$$

答案：

$$f_x=2xy+y\cos(xy),\quad f_y=x^2+x\cos(xy)$$

模型连接：偏导数就是“只动一个参数，看损失怎么变”。梯度就是所有偏导数组成的向量。

32. 二元平方损失的梯度

题目：设一个简单模型为

$$\hat y=wx+b$$

单样本损失为

$$L(w,b)=\frac{1}{2}(wx+b-y)^2$$

求 $\nabla L(w,b)$。

解答：

令误差：

$$e=wx+b-y$$

则：

$$L=\frac{1}{2}e^2$$

对 $w$ 求偏导：

$$\frac{\partial L}{\partial w} = e\cdot \frac{\partial e}{\partial w} = e\cdot x$$

对 $b$ 求偏导：

$$\frac{\partial L}{\partial b} = e\cdot \frac{\partial e}{\partial b} = e$$

所以梯度为：

$$\nabla L(w,b) = (ex,\ e) = ((wx+b-y)x,\ wx+b-y)$$

答案：

$$\nabla L(w,b)=((wx+b-y)x,\ wx+b-y)$$

模型连接：这是线性回归的一步反向传播。大模型再复杂，本质也在不断计算“损失对每个参数的偏导”。

33. 方向导数：沿指定方向的变化率

题目：设

$$f(x,y)=x^2+y^2$$

求在点 $(1,2)$ 处，沿单位方向

$$\mathbf u=\left(\frac{3}{5},\frac{4}{5}\right)$$

的方向导数。

解答：

先求梯度：

$$\nabla f=(2x,2y)$$

在 $(1,2)$ 处：

$$\nabla f(1,2)=(2,4)$$

方向导数为：

$$D_{\mathbf u}f=\nabla f\cdot \mathbf u$$

所以：

$$D_{\mathbf u}f(1,2) =(2,4)\cdot\left(\frac{3}{5},\frac{4}{5}\right) = \frac{6}{5}+\frac{16}{5} = \frac{22}{5}$$

答案：

$$\frac{22}{5}$$

模型连接：梯度告诉你“所有方向里上升最快的方向”。方向导数告诉你，如果参数按某个指定方向更新，损失会怎么变。

34. 多元链式法则

题目：设

$$z=(x^2+y)^3$$

求 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial z}{\partial y}$。

解答：

令：

$$u=x^2+y$$

则：

$$z=u^3$$

对 $x$ 求偏导：

$$\frac{\partial z}{\partial x} = 3u^2\cdot \frac{\partial u}{\partial x} = 3(x^2+y)^2\cdot 2x$$

所以：

$$\frac{\partial z}{\partial x}=6x(x^2+y)^2$$

对 $y$ 求偏导：

$$\frac{\partial z}{\partial y} = 3u^2\cdot \frac{\partial u}{\partial y} = 3(x^2+y)^2$$

答案：

$$\frac{\partial z}{\partial x}=6x(x^2+y)^2,\quad \frac{\partial z}{\partial y}=3(x^2+y)^2$$

模型连接：反向传播就是大规模链式法则。神经网络由很多层函数复合而成，梯度正是沿着复合链条传回去。

35. Hessian 判断极值

题目：设

$$f(x,y)=x^2+2y^2-2x+4y$$

求极值点，并判断其性质。

解答：

先求偏导：

$$f_x=2x-2,\quad f_y=4y+4$$

令偏导为 0：

$$2x-2=0,\quad 4y+4=0$$

得到：

$$x=1,\quad y=-1$$

Hessian 矩阵为：

$$H= \begin{bmatrix} f_{xx} & f_{xy}\\ f_{yx} & f_{yy} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 0\\ 0 & 4 \end{bmatrix}$$

这个矩阵两个主方向上的二阶系数都为正，表示曲面像碗一样向上开，因此该点是极小值点。

答案：

$$(1,-1)$$

是极小值点。

模型连接：Hessian 记录损失曲面的弯曲。梯度告诉你往哪走，Hessian 告诉你地形有多弯、哪边陡。

36. 约束优化：最小范数解

题目：在约束

$$x+y=1$$

下，求

$$f(x,y)=x^2+y^2$$

的最小值点。

解答：

用约束消元。由 $x+y=1$ 得：

$$y=1-x$$

代入目标函数：

$$f(x)=x^2+(1-x)^2$$

展开：

$$f(x)=x^2+1-2x+x^2=2x^2-2x+1$$

求导：

$$f'(x)=4x-2$$

令导数为 0：

$$4x-2=0$$

所以：

$$x=\frac{1}{2}$$

于是：

$$y=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$$

答案：

$$\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$$

模型连接：约束优化是机器学习常客。比如权重归一化、概率和为 1、资源预算固定时的最优分配，都可以看成带约束的优化问题。

37. 二元 Taylor 近似

题目：设

$$f(x,y)=e^{x+y}$$

在 $(0,0)$ 附近写出一阶 Taylor 近似，并估算 $f(0.01,0.02)$。

解答：

一阶 Taylor 近似：

$$f(x,y)\approx f(0,0)+f_x(0,0)x+f_y(0,0)y$$

先算：

$$f(0,0)=e^0=1$$

偏导为：

$$f_x=e^{x+y},\quad f_y=e^{x+y}$$

所以：

$$f_x(0,0)=1,\quad f_y(0,0)=1$$

于是：

$$f(x,y)\approx 1+x+y$$

代入 $(0.01,0.02)$：

$$f(0.01,0.02)\approx 1+0.01+0.02=1.03$$

答案：

$$f(0.01,0.02)\approx 1.03$$

模型连接：多元 Taylor 是理解多参数模型局部变化的基本工具。大模型每次更新都可以看成在高维参数空间里做局部近似。

三、重积分：连续空间里的平均、归一化和期望

38. 矩形区域上的二重积分

题目：计算

$$\iint_D (x+y)\,dA$$

其中

$$D=\{(x,y)\mid 0\le x\le 1,\ 0\le y\le 2\}$$

解答：

写成累次积分：

$$\iint_D (x+y)\,dA = \int_0^1\int_0^2 (x+y)\,dy\,dx$$

先对 $y$ 积分：

$$\int_0^2(x+y)\,dy = \left.xy+\frac{y^2}{2}\right|_0^2 = 2x+2$$

再对 $x$ 积分：

$$\int_0^1(2x+2)\,dx = \left.x^2+2x\right|_0^1 = 3$$

答案：

$$3$$

模型连接：二重积分是二维连续空间上的累计量。连续输入空间里的平均风险、图像区域上的累计强度，都可以用这种方式理解。

39. 用极坐标计算圆盘积分

题目：计算单位圆盘

$$D=\{(x,y)\mid x^2+y^2\le 1\}$$

上的积分：

$$\iint_D (x^2+y^2)\,dA$$

解答：

在极坐标中：

$$x^2+y^2=r^2,\quad dA=r\,dr\,d\theta$$

单位圆盘对应：

$$0\le r\le 1,\quad 0\le \theta\le 2\pi$$

所以：

$$\iint_D (x^2+y^2)\,dA = \int_0^{2\pi}\int_0^1 r^2\cdot r\,dr\,d\theta$$

即：

$$\int_0^{2\pi}\int_0^1 r^3\,dr\,d\theta$$

先对 $r$ 积分：

$$\int_0^1 r^3\,dr=\frac{1}{4}$$

再对 $\theta$ 积分：

$$\int_0^{2\pi}\frac{1}{4}\,d\theta=\frac{\pi}{2}$$

答案：

$$\frac{\pi}{2}$$

模型连接：当区域有圆形对称性时，极坐标能大幅简化问题。高斯分布、范数球、旋转对称初始化都和这种几何直觉有关。

40. 二维概率密度归一化

题目：设区域

$$D=\{(x,y)\mid 0\le x\le 1,\ 0\le y\le 1-x\}$$

若

$$p(x,y)=c$$

在 $D$ 上是概率密度，求 $c$。

解答：

概率密度总积分必须为 1：

$$\iint_D c\,dA=1$$

区域 $D$ 是直角三角形，面积为：

$$\frac{1}{2}$$

所以：

$$c\cdot \frac{1}{2}=1$$

得到：

$$c=2$$

也可写成积分：

$$\int_0^1\int_0^{1-x}c\,dy\,dx=1$$

答案：

$$c=2$$

模型连接：连续概率分布必须归一化。二维密度的归一化就是 softmax 在连续空间里的表亲。

41. 二维均匀分布的期望

题目：设 $(X,Y)$ 在单位正方形 $[0,1]\times[0,1]$ 上均匀分布。求

$$E[X+Y]$$

解答：

均匀分布密度为 1。期望为：

$$E[X+Y] = \int_0^1\int_0^1(x+y)\,dy\,dx$$

先对 $y$ 积分：

$$\int_0^1(x+y)\,dy = \left.xy+\frac{y^2}{2}\right|_0^1 = x+\frac{1}{2}$$

再对 $x$ 积分：

$$\int_0^1\left(x+\frac{1}{2}\right)dx = \frac{1}{2}+\frac{1}{2} = 1$$

答案：

$$E[X+Y]=1$$

模型连接：期望就是平均。训练目标常写成对数据分布的期望损失，样本平均只是它的离散近似。

42. 三重积分计算体积

题目：求长方体

$$0\le x\le 1,\quad 0\le y\le 2,\quad 0\le z\le 3$$

的体积。

解答：

体积可以写成三重积分：

$$V=\iiint_D 1\,dV$$

所以：

$$V=\int_0^1\int_0^2\int_0^3 1\,dz\,dy\,dx$$

先对 $z$ 积分：

$$\int_0^3 1\,dz=3$$

再对 $y$ 积分：

$$\int_0^2 3\,dy=6$$

最后对 $x$ 积分：

$$\int_0^1 6\,dx=6$$

答案：

$$6$$

模型连接：高维积分很快变难，这就是“维数灾难”的一个入口。大模型里的高维概率和期望通常不能直接积分，只能采样近似。

四、曲线积分与曲面积分：路径、流量与守恒

43. 标量场沿线段的曲线积分

题目：计算标量场

$$f(x,y)=x+y$$

沿线段 $C$：从 $(0,0)$ 到 $(1,1)$ 的曲线积分

$$\int_C f(x,y)\,ds$$

解答：

参数化线段：

$$x=t,\quad y=t,\quad 0\le t\le 1$$

则：

$$f(x,y)=t+t=2t$$

弧长微元：

$$ds=\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}\,dt = \sqrt{1^2+1^2}\,dt = \sqrt{2}\,dt$$

所以：

$$\int_C f\,ds = \int_0^1 2t\sqrt{2}\,dt = \sqrt{2}$$

答案：

$$\sqrt{2}$$

模型连接：曲线积分可以理解成“沿路径累计某种代价”。优化路径上的累计损失、物理启发模型里的能量，都有类似直觉。

44. 向量场做功

题目：设向量场

$$\mathbf F(x,y)=(y,x)$$

沿直线段 $C$：从 $(0,0)$ 到 $(1,1)$，计算

$$\int_C \mathbf F\cdot d\mathbf r$$

解答：

参数化：

$$\mathbf r(t)=(t,t),\quad 0\le t\le 1$$

则：

$$\mathbf r'(t)=(1,1)$$

向量场沿路径为：

$$\mathbf F(\mathbf r(t))=(t,t)$$

于是：

$$\mathbf F\cdot d\mathbf r = \mathbf F(\mathbf r(t))\cdot \mathbf r'(t)\,dt = (t,t)\cdot(1,1)\,dt = 2t\,dt$$

积分：

$$\int_0^1 2t\,dt=1$$

答案：

$$1$$

模型连接：如果把梯度看成一个向量场，那么沿路径积分可以描述沿参数路径的损失变化。理解向量场，有助于理解优化轨迹。

45. 用 Green 公式算环流

题目：设

$$\mathbf F(x,y)=(-y,x)$$

令 $C$ 为单位圆 $x^2+y^2=1$ 的逆时针方向。计算

$$\oint_C \mathbf F\cdot d\mathbf r$$

解答：

写成：

$$\mathbf F=(P,Q),\quad P=-y,\quad Q=x$$

Green 公式：

$$\oint_C P\,dx+Q\,dy = \iint_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dA$$

计算偏导：

$$\frac{\partial Q}{\partial x}=1,\quad \frac{\partial P}{\partial y}=-1$$

所以 integrand 为：

$$1-(-1)=2$$

单位圆盘面积为 $\pi$，因此：

$$\iint_D 2\,dA=2\pi$$

答案：

$$2\pi$$

模型连接：这题展示“局部旋转强度”和“边界环流”的关系。向量场、流、守恒结构在物理启发网络和连续动力系统里很重要。

46. 简单通量计算

题目：设向量场

$$\mathbf F=(0,0,1)$$

求它穿过平面片

$$S:\ 0\le x\le 1,\ 0\le y\le 1,\ z=0$$

向上方向的通量。

解答：

平面片向上单位法向量为：

$$\mathbf n=(0,0,1)$$

通量为：

$$\iint_S \mathbf F\cdot \mathbf n\,dS$$

点积：

$$\mathbf F\cdot \mathbf n=(0,0,1)\cdot(0,0,1)=1$$

平面片面积为 1，所以：

$$\iint_S 1\,dS=1$$

答案：

$$1$$

模型连接：通量表示“穿过一个界面的总流量”。在连续建模、扩散模型、概率流 ODE 的直觉里，这类概念会反复出现。

五、无穷级数：用有限项近似复杂函数

47. 几何级数求和

题目：求

$$\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^n$$

解答：

几何级数公式：

$$\sum_{n=0}^{\infty}q^n=\frac{1}{1-q},\quad |q|<1$$

这里：

$$q=\frac{1}{2}$$

所以：

$$\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^n = \frac{1}{1-\frac{1}{2}} = 2$$

答案：

$$2$$

模型连接：很多衰减权重、折扣回报、指数滑动平均都能看到几何级数。强化学习里的折扣累计回报就是典型例子。

48. 判断级数收敛

题目：判断级数

$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$$

是否收敛。

解答：

这是 $p$ 级数：

$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}$$

当 $p>1$ 时收敛；当 $p\le 1$ 时发散。

这里：

$$p=2>1$$

所以级数收敛。

答案：收敛。

模型连接：学习率调度经常关心某些序列的和是否有限。级数收敛性让你判断“长期累积影响”会不会爆炸。

49. 幂级数收敛半径

题目：求幂级数

$$\sum_{n=1}^{\infty} n x^n$$

的收敛半径。

解答：

令通项：

$$a_n=nx^n$$

用比值判别法：

$$\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \left|\frac{(n+1)x^{n+1}}{nx^n}\right| = \frac{n+1}{n}|x|$$

当 $n\to\infty$：

$$\frac{n+1}{n}\to 1$$

所以极限为：

$$|x|$$

比值判别要求：

$$|x|<1$$

因此收敛半径为：

$$R=1$$

答案：

$$R=1$$

模型连接：幂级数是函数近似的基础。收敛半径提醒你：某个近似公式不是全世界都能用，它只在一定范围内可靠。

50. 用 Taylor 级数近似 $\sin x$

题目：用 $\sin x$ 在 0 附近的前三个非零项近似 $\sin(0.1)$。

解答：

$\sin x$ 的 Taylor 展开为：

$$\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots$$

前三个非零项为：

$$\sin x\approx x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}$$

代入 $x=0.1$：

$$\sin(0.1)\approx 0.1-\frac{0.1^3}{6}+\frac{0.1^5}{120}$$

逐项计算：

$$0.1^3=0.001,\quad \frac{0.001}{6}\approx 0.0001667$$ $$0.1^5=0.00001,\quad \frac{0.00001}{120}\approx 0.0000000833$$

所以：

$$\sin(0.1)\approx 0.1-0.0001667+0.0000000833 = 0.0998333833$$

答案：

$$\sin(0.1)\approx 0.0998333833$$

模型连接：Transformer 的位置编码、RoPE、傅里叶特征都离不开正弦余弦。Taylor 级数告诉你：复杂周期函数也能被局部多项式近似。

两篇 50 题的学习顺序

如果目标是服务模型学习，我建议按这条线复盘：

1. 极限和 Taylor：理解局部近似。
2. 导数和偏导数：理解梯度。
3. 凸性、Hessian、约束优化：理解损失地形。
4. 积分和重积分：理解平均损失、期望、归一化。
5. 向量、投影、距离：理解 embedding、相似度、决策边界。
6. 曲线曲面积分和微分方程：理解连续动力系统。
7. 级数：理解近似、收敛和长程累计。

同济高数不是“为 AI 发明的数学”，但它给了模型学习最基础的底盘：变化、累计、空间、近似、动力学。

参考

• 高等教育出版社产品页：《高等数学 第八版 上册》
• 高等教育出版社产品页：《高等数学 第八版 下册》